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En geometría, una transposición de forma es una transformación geométrica que, al aplicarse, hace que una forma se mueva en un plano sin cambiar su forma ni su tamaño.
Para transponer una forma, es necesario especificar un vector v de cualquier tamaño, dirección y orientación, y aplicarlo a cada punto de la propia forma.
Un ejemplo:
Lo mismo ocurre en el plano musical, con la única diferencia de que la componente horizontal del vector (que indica la transposición horizontal, en el tiempo) debe ser positiva.
Veamos una aplicación musical con la conocida pieza “Frère Jacques”:
Como puedes ver, las notas de los dos primeros compases se repiten de forma idéntica: es como si hubiéramos arrastrado las notas de la primera línea melódica sin alterar su ritmo ni sus intervalos melódicos. Lo mismo ocurre con la tercera y la cuarta, la quinta y la sexta y, por último, la séptima y la octava.
Una técnica compositiva muy utilizada en música, con J. Sebastian Bach como uno de los mayores ejemplos, es el canon. El canon es una combinación de transiciones. Tomemos nuestro “Frère Jacques”, con el añadido de una segunda voz que reproduce exactamente la misma melodía, pero a partir del tercer compás:
A partir del tercer compás, la misma melodía crea una nueva armonización debido a este mismo cambio, pero, como puedes oír, tiene sentido musicalmente.
Hasta ahora hemos visto las transiciones horizontales simples y las transiciones superpuestas, lo que en música se llama canon.
Ahora echemos un vistazo a la transición vertical, que puede modificar enormemente la sensación melódica de una frase musical.
Desde un punto de vista geométrico, cuando realizamos la transición de una forma en un plano cartesiano, necesitamos indicar las coordenadas del vector de transición v. Este vector indicará con precisión la transición de la forma, tanto vertical como horizontalmente.
Intenta transponer las notas de la primera línea melódica en un intervalo:
- tercera
- cuarta
- quinta
Para que estos ejercicios sean eficaces, es esencial que puedas oírlos. Equípate con un programa de composición musical que puedes encontrar fácilmente en Internet. Un buen programa gratuito es Musescore. Esto hará más fácil y eficaz la comprensión de los conceptos mostrados en esta sección.
En este punto será posible superponer las transiciones tanto vertical como horizontalmente y tendremos lo que en música se llama un canon en la décima, tercera, cuarta, etc. Veamos un ejemplo de canon en la quinta:
En el segundo sistema, partimos de una melodía producida a partir de la original, pero desplazándola a su quinta, o en este caso partiendo de Sol (quinta nota partiendo de Do). Esta nueva melodía seguirá manteniendo las mismas relaciones de intervalo que la melodía original.
También en este caso la composición musical ha sido de alguna manera manipulada desde un punto de vista matemático/geométrico.
Dadas las transiciones horizontales y verticales, pasemos ahora a las reflexiones.